Máximo y mínimo de una función

Cuando estudiamos el comportamiento de una función no solo determinamos su recorrido o su dominio, también se calculan ciertos puntos de interés llamados punto máximo y punto minino.

Máximo y mínimo de una función

Los puntos máximos y mínimos en una función son los valores más grandes o más pequeños que toma la función.

Punto máximo de una función

Se define punto máximo como:

Una función f(x) tiene un máximo en un punto si su valor en dicho punto es mayor que en cualquier otro punto X de un intervalo (a,b) suficientemente pequeño que contiene al punto X, es decir, .

El punto máximo puede ser:

Punto máximo absoluto

Se define como un punto máximo absoluto de la función al valor más grande que toma la función con respecto a todo el dominio, es decir, existe un único valor máximo.

Punto máximo relativo

La función tiene en (a) un máximo relativo si f(a) es mayor que sus valores próximos a izquierda y derecha, es decir, es el valor máximo en un tramo de la función.

Punto mínimo de una función

Se define punto mínimo como:

Una función f(x) tiene un mínimo en un punto  si su valor en dicho punto es menor que en cualquier otro punto X de un intervalo (a,b) suficientemente pequeño que contiene al punto X, es decir, .

Los puntos mínimos pueden ser:

Punto mínimo absoluto

El punto mínimo absoluto de la función es el valor más pequeño que adquiere la función en todo el dominio.

Punto mínimo relativo

La función tiene en (a) un mínimo relativo si f(a) es menor que sus valores próximos a izquierda y derecha, es decir, el valor mínimo en un tramo de la función.

Teorema de valores extremos

El teorema de valores extremos establece que:

Punto critico

Se define como punto crítico:

Son todos los valores de X para lo cual la derivada de una función se hace cero o presenta discontinuidad.

Los puntos críticos determinan valores críticos en la función, es decir, dependiendo del comportamiento de la gráfica los puntos críticos pueden ser puntos máximos o puntos mínimos. Para conseguir los puntos críticos y comprobar si son máximos o mínimos se aplica la regla de la primera derivada ó la regla de la segunda derivada.

Regla de la primera derivada

Si la función es derivable en (a) y , decimos que (a) es un punto crítico, evaluando que;

Si la función es derivable en el intervalo (a,b) entonces se dice que es creciente si la derivada de la función es mayor a cero para todo X que pertenezca al intervalo (a,b) y será decreciente cuando la derivada de la función sea menor a cero para todo X que pertenezca al intervalo.

Por ultimo, el punto máximo  de una función se presenta cuando la gráfica  pasa de creciente a decreciente y el punto mínimo se presenta cuando esta pasa de decreciente  a creciente.

Ejemplo de la regla de la primera derivada

Determinar si la función tiene puntos máximos o mínimos:

   

calculamos la primera derivada;

   

igualamos a cero la primera derivada y despejamos la variable;

   

   

sustituimos este valor en la función inicial;

   

   

   

tenemos un punto crítico ubicado en (0,0), pero no sabemos si es máximo o mínimo, para ello consideramos dos valores, uno a la derecha y otro a la izquierda de x=0;

   

   

sustituimos en la función derivada;

   

   

   

   

   

cuando la pendiente es negativa la función es decreciente, cuando la pendiente es positiva la función es creciente, por tanto, la función decrece a la izquierda de x=0 y crece a la derecha de x=0, concluyendo que (0,0) es un punto mínimo.

Regla de la segunda derivada

Con la regla de la segunda derivada se puede determinar si un punto crítico es mínimo o un máximo según el signo de la segunda derivada, es decir, si la función es dos veces derivable donde x=a es un punto crítico, entonces;

1.- Si es mayor a cero o positivo, el punto crítico es un mínimo.

2.- Si es menor a cero o negativo, el punto crítico es un máximo.

3.- Si es igual a cero el punto crítico no es ni máximo ni mínimo.

Ejemplo de la regla de la segunda derivada

Determinar los puntos máximos y/o mínimo de la función;

   

calculamos la primera derivada;

   

igualamos a cero y despejamos la variable;

   

   

   

calculamos la segunda derivada;

   

   

evaluamos en la segunda derivada;

   

   

como 3,46 es mayor a cero o positivo, el punto crítico es un mínimo.