Función identidad: qué es, gráfica, características y más...

La función identidad es un concepto matemático fundamental que, aunque a simple vista parece sencillo, tiene un impacto profundo en muchas áreas de las matemáticas, especialmente en álgebra y cálculo.

En la página de función lineal mencionamos que dentro de estas se encuentran la función identidad, caracterizada por una línea recta su gráfica, en esta ocasión ampliaremos un poco mas sobre esta función.

Contenido

1 ¿Qué es una función identidad?
2 Gráfica de la función identidad:
3 Denotación de la función identidad
- 3.1 Notación común
- 3.2 Notación en conjuntos
4 Características de la función identidad
5 Importancia de la función identidad

¿Qué es una función identidad?

En términos básicos, la función identidad es una función en la cual el valor de salida es siempre igual al valor de entrada. Esto significa que cada elemento se “mapea” a sí mismo. Podemos expresar la función identidad con la fórmula:

$f(x) = x$

Es decir, si le damos un valor a $x$ , la función lo devolverá sin realizar ninguna operación adicional.

Gráfica de la función identidad:

La gráfica de la función identidad, $f(x) = x$ , es una línea recta que pasa por el origen y que se extiende indefinidamente en ambas direcciones. La línea forma un ángulo de 45° con ambos ejes del plano cartesiano y tiene una pendiente de 1, lo que indica un crecimiento constante y uniforme en todos sus puntos.

La gráfica divide el plano en dos partes, pasando por el primer y tercer cuadrante, lo cual refleja que la función identidad es una función creciente y simétrica en torno al origen. Cada punto de la línea representa un par ordenado donde el valor de $x$ es igual al valor de $y$ , es decir, puntos de la forma $(a, a)$ para cualquier valor $a$ en el dominio.

Como podemos ver en la gráfica la línea recta es la bisectriz del primer y del tercer cuadrante, resaltando que si la pendiente es positiva la función es creciente y si es negativa la función es decreciente.

Denotación de la función identidad

La función identidad suele denotarse también con id(x), la cual la imagen de cualquier elemento es éste mismo, es por ello que se su expresión general es $f(x)=x$

Notación común

La notación más común para la función identidad es:

$id(x)=x$

Esta fórmula representa la idea de que el valor de salida es idéntico al valor de entrada para cualquier ( x ) en el dominio de la función. Esta notación sencilla y directa es ideal para expresar que no hay ninguna transformación o cambio en los valores que toma.

Notación en conjuntos

La función identidad se puede definir en cualquier conjunto de valores, no solo en los números reales. En términos de conjuntos, se define de la siguiente manera:

$id: M \rightarrow M, \quad \text{donde } id(m) = m \text{ para cada } m \in M$

Esto significa que la función identidad, $id$ , asigna cada elemento $m$ del conjunto $M$ a sí mismo. Ejemplos de conjuntos donde se usa la función identidad incluyen los números enteros, reales, o cualquier conjunto numérico o no numérico.

Características de la función identidad

Dentro de la características de esta función tenemos que:

La pendiente siempre es 1.
La función siempre pasa por el origen.
El dominio y rango son los números reales.
La recta de su gráfica forma un ángulo de 45 grados con cualquiera de los dos ejes.
Son a la vez función sobreyectiva e inyectiva.
Es una función continua.
La función identidad actúa como elemento neutro de la composición de funciones.
La integral de la función identidad es la función cuadrática.

Importancia de la función identidad

La función identidad actúa como el “elemento neutro” en la composición de funciones. En palabras simples, cuando la función identidad interactúa con otras funciones a través de operaciones de composición, no altera los resultados, lo cual es esencial en varias aplicaciones matemáticas. Este comportamiento le da un papel fundamental en muchos temas matemáticos, desde transformaciones geométricas hasta el álgebra abstracta.