Dentro del estudio de funciones es necesario comprender dos términos importante de la esencia de su definición como lo es el dominio y rango.
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Dominio y rango
El dominio de una función f(x) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida, es decir, es el conjunto de todos los valores independientes posibles en una relación.
Se entiende por rango de la función al conjunto de todos los valores que f toma, es decir, es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir.
Otro concepto que es necesario comprender es el codominio, los cuales son todos los números reales que conforman el conjunto de los valores que puede tomar en determinado momento la variable Y.
A continuación te presentamos un ejemplo de dominio, rango y codominio:
Representación del dominio y rango
El dominio y rango se pueden representar en una tablas, donde los valores independientes es el dominio mientras que los valores dependientes son el rango.
Otra forma de representarlos es par ordenado (2,4) donde el primer valor es el dominio y el segundo es el rango.
En un sistema de coordenada al representar un par ordenado los valores ubicados en la recta horizontal hace referencia al dominio mientras que la recta vertical representan el rango.
Por ultimo tenemos el diagrama de Venn, donde el conjunto de salida representa el dominio y el de llegada representa el rango.
Dominio y rango según el tipo de función
Dependiendo del tipo de funciones, el dominio y rango puede variar, por ejemplo:
.- Funciones polinómicas: Entre estas funciones se encuentran la función lineal, función cuadrática, función cubica, siendo su dominio todos los números reales, denotandose $Dom=(-\infty ,\infty )$ ó $Dom f(x)=\mathbb{R}$, por tanto su rango es $Rgo f(x)=\mathbb{R}$.
.- Función racional: Para calcular el dominio de una función racional se procede a igualar el denominador a cero y resolver esa ecuación, una vez resuelta, el dominio estará formado por todos los números reales excepto la solución de la ecuación, es decir, el resultado es el valor que hace cero la función, el cual no es considerado en el dominio; por tanto el $Dom f(x)=\mathbb{R}-(el valor que anula al denominador)$ y el rango, al graficar la función, presenta una asíntota horizontal en Y que define el rango como $Rgo f(x)=\mathbb{R}- el valor de la asíntota$
.- Función irracional: La funciones irracionales se caracterizan por ser raíces, donde se radica la variable independiente. Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto de los números reales porque al elegir cualquier valor de X siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando. Pero si el radical tiene índice par, para los valores de X que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen. Cuando queremos hallar el dominio de este tipo de funciones lo primero que debemos hacer es tomar lo que hay dentro de la raíz y hacer que sea mayor o igual que cero.
.- Función exponencial: Todas las funciones exponenciales tienen como dominio los números reales y como rango todos los números reales positivos sin incluir el cero. Para estas funciones no se realiza ningún tipo de calculo, solo se identifica si es una función exponencial y se afirma que $Dom f(x)=\mathbb{R}$ y $Rgo f(x)=(0,+\infty )$.
.- Función logarítmica: El procedimiento para calcular el dominio de las funciones logarítmicas es bastante similar al de las funciones irracionales, para lo cual tomamos la expresión dentro del logaritmo y hacemos que sea mayor que cero. Recordemos que los logaritmos de números negativos y el de 0 no existen, es por ello que, todas las expresiones a las que se le pretenda calcular su logaritmo deben ser mayores a cero. El rango estará representado por el conjunto de todos los números reales.