Composición de funciones

Durante el estudio del álgebra, nos encontramos con funciones compuestas las cuales presenta una composición sucesiva de funciones definidas como composición de funciones.

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1 Composición de funciones

Composición de funciones

Se define como:

Es la imagen producto de la aplicación sucesiva de dos o más funciones sobre un mismo elemento x.

Es decir, si tenemos a f(x) y g(x), donde el dominio de g(x) esta incluido en el codominio de la primera, de esta forma se construye una nueva función que asociada a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)] , denotándose composición de funciones como:

$f:A\to B\to C$

$(gof)(x)=g[f(x)]$

donde se lee f seguida de g.

Es importante acotar que en la composición de funciones se aplican dichas funciones de derecha a izquierda, entendiéndose así que primero actúa f y luego g sobre f(x) como se observa en la figura siguiente:

El dominio de la composición de funciones es $D(g o f)=\left\{ x\epsilon Dom f/f(x)\epsilon Dom g\right\}$ .

Propiedades de la composición de funciones

.- Propiedad asociativa:

$f(goh)=(fog)h$

.- No cumple con la propiedad conmutativa.

.- El elemento neutro es la función identidad donde i(x)=x

$f o g= i$

$f = f$

.- La inversa de la composición de dos funciones es:

$(g o f)^{-1}= f^{-1} o g^{-1}$

Función bien definida

Se dice que la función está bien definida porque cumple con:

.- Condición de existencia: dado X, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento Y de B conocemos también (y, g(y)), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y así (g ∘ f) cumple la condición de existencia.

.- Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g(f(x)).

Ejemplo de composición de funciones

Resolver la composición de funciones si $f(x)=2x+3$ y $g(x)= x+1$

Solución

\ [(gof)(x)=g[f(x)]\]

\ [=g(2x+3)\]

\ [=(2x+3)+1\]

\ [=2x+4\]