Funciones

¿Alguna vez te has preguntado por qué el precio de ciertos productos depende de su peso o volumen, o cómo la velocidad de un vehículo varía con el tiempo? Detrás de estas relaciones tan comunes está el concepto matemático de una función, una herramienta esencial en las matemáticas que permite modelar, entender y predecir cómo un valor depende de otro.

Una función no es más que una relación entre dos conjuntos: el primero representa los valores de partida y el segundo los valores de llegada. Por ejemplo, si compras naranjas, la cantidad que pagas depende de la cantidad de kilos que compras. En términos matemáticos, decimos que el precio de las naranjas es una función de la cantidad de kilos.

Este artículo es una invitación a descubrir en profundidad el concepto de función, entender sus partes, los tipos que existen, y aprender cómo se representan y aplican en distintos campos de la ciencia y la vida cotidiana. ¡Acompáñame y verás cómo las funciones están en todas partes!

Historia de la función

Los primeros registros del estudio relacionados a funciones se localizan en la matemática babilónicas, encontrándose tablas con los cuadrados, los cubos y los inversos de los números naturales, posteriormente en el antiguo Egipto también aparecen ejemplos del uso de funciones particulares pero solo fue en la Grecia clásica donde con mas precisión las funciones las presentan como una relación entre los elementos de dos conjuntos y no sólo como una fórmula pero es poco probable que comprendieran el concepto abstracto de la misma.

La historia atribuye a Nicole Oresme la primera aproximación al concepto de función, al describir las leyes de la naturaleza como relaciones de dependencia entre dos magnitudes, haciendo un uso sistemático de diagramas para representar magnitudes variables en un plano. Por su parte Galileo Galilei con su estudio sobre el movimiento, contiene la clara comprensión de una relación entre variables, destacando las sorprendentes consecuencias.

Renè Descartes continuando el estudio de Galileo, introdujo la geometría analítica, desarrollando las consecuencias planteadas por Galileo y lograr representar en el plano las relaciones entre magnitudes, donde para el momento cualquier curva del plano podía ser expresada en términos de ecuaciones y cualquier ecuación que relacionara dos variables podía ser representada geométricamente en un plano. Ya para finales del siglo XVII aparece por primera vez el término función de parte de Johann Bernoulli, pero fue hasta 1748 cuando concepto de función saltó a la fama en matemáticas.

Muchos matemáticos abordaron el problema de dar una definición precisa y adecuada de función, pasando casi dos siglos, mejorando el concepto, hasta el siglo XX, donde Edouard Goursat dio en 1923 la definición que aparece en la mayoría de los libros de textos que manejamos hoy en día.

Conceptos básicos en la introducción de funciones

Para comprender el concepto de funciones es importante conocer ciertos conceptos como son:

.- Conjunto: Es una colección de objetos, que se suelen representar con letras mayúsculas, por ejemplo .

.- Subconjunto: Se define como subconjunto cuando un conjunto llamado A contiene algunos de los elementos de un conjunto B.

.- Objetos: Son elementos ubicados dentro de las llaves del conjunto, como números, letras, cosas.

.- Relación: Es un conjunto de parejas ordenadas (x,y) que cumple una determinada propiedad.

.- Imagen: Si X es un elemento de un conjunto A y el esta relacionado a través de f con un elemento Y de conjunto B, se dice que Y es la imagen de X a través de la función f.

¿Qué es una función?

Se define función como:

La denotación de función es:

   

donde  f es la función con dominio A y codominio B y se lee «f de A en B».

Dominio y rango de una función

Antes de explorar los siguientes conceptos relacionados a las funciones, es fundamental comprender los elementos clave que las componen. Estos elementos permiten describir con precisión cómo una función relaciona sus valores de entrada y salida.

.- Dominio: Es el conjunto formado por las primeras componente que forman los pares que cumplen con la relación. Se denota como Dom (). Dicho de otro modo: El dominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles de entrada. En nuestro ejemplo de las naranjas, el dominio podría ser el conjunto de valores positivos de kilos de naranja, ya que no puedes comprar una cantidad negativa de frutas.

.- Rango: Es el conjunto formado por la segundas componentes de los pares que cumplen con la relación, se denota Rgo (). En el caso del precio de las naranjas, el rango estaría representado por todos los montos posibles que puedes pagar de acuerdo a la cantidad de kilos que compres.

Variables dependientes e independientes

En cualquier función, encontramos dos tipos de variables:

• Variable independiente: Es la que podemos controlar o manipular libremente. Siguiendo el ejemplo de las naranjas, la cantidad de kilos es nuestra variable independiente.
• Variable dependiente: Es el valor que cambia en función de la variable independiente. En este caso, el precio es la variable dependiente, ya que su valor depende de cuántos kilos compramos.

Representación de funciones: cómo visualizar sus relaciones

Las funciones se pueden representar de 4 maneras principales:

1. Diagramas: Es comúnmente usado con fines explicativos y es una forma sencilla de visualizar
2. Ecuaciones: Ofrecen una forma algebraica y compacta de expresar la relación entre variables.
3. Tablas: Muestran una serie de valores específicos de entrada y salida, facilitando la comprensión de la función sin necesidad de graficar.
4. Gráficas: Permiten visualizar cómo se comporta la función en el plano cartesiano.

A continuación te muestro cada una de estas formas de representación de funciones:

Diagrama de Venn o representación Sagital: Es una representación gráfica, utilizando unos elipses que encierra los elementos de cada conjunto, utilizando flechas para señalar la imagen de cada elemento.

Representación mediante ecuaciones: Las funciones se pueden representar mediante el uso de ecuaciones que es la forma habitual a partir de la cual se pueden hacer análisis de diversa índole pues a partir de ella se pueden obtener las imágenes que corresponden a cada uno de los valores de su dominio, un ejemplo sencillo sería en la que podemos calcular la imagen de cualquier valor asignándole ese valor a la variable «x«, por ejemplo la imagen de 1 es:

Representación en tabla: Representada en cuadro con divisiones, identificando las imágenes  o elementos del dominio y rango, por ejemplo:

Representación mediante gráficas: Para representar la función de esta forma, se utiliza el sistema de coordenadas cartesianas, donde la línea horizontal corresponde al dominio y la vertical al rango. Por lo general se apoya en el registro de datos de la tabla. Ejemplo:

Clasificación o tipos de funciones y sus características

Las funciones se pueden clasificar de varias formas según su estructura y comportamiento. A continuación, exploraremos algunas de las categorías más importantes.

Funciones algebraicas y trascendentes

1. Funciones algebraicas: Estas funciones están definidas por expresiones algebraicas y pueden incluir operaciones como suma, resta, multiplicación, división y raíces. Ejemplos comunes incluyen:
   • Función lineal o afin: Tiene la forma y representa relaciones de crecimiento constante. Es como si la cantidad de naranjas que compras aumentara de manera proporcional al precio.
   • Función cuadrática: Tiene la forma y suele generar una parábola al graficarse. Un ejemplo cotidiano de una función cuadrática es la distancia que recorre un objeto en caída libre con respecto al tiempo.
   • Función cúbica: Tiene la forma y se usa en aplicaciones con comportamientos más complejos que el de la función cuadrática mostrando puntos de inflexión y valores máximos y/o mínimos relativos.
   • Función racional: Tiene la forma donde y su gráfica generalmente es una curva cuya naturaleza varía mucho.
2. Funciones trascendentes: Estas funciones no pueden expresarse como polinomios y suelen incluir operaciones más complejas. Ejemplos de funciones trascendentes son:
   • Función exponencial: Tiene la forma ( f(x) = a^x ) y se usa en fenómenos de crecimiento y decaimiento, como el crecimiento poblacional o la desintegración radiactiva.
   • Función logarítmica: Inversa de la función exponencial, es útil en áreas como la acústica y la escala de Richter para medir terremotos.
   • Función trigonométrica: Usa razones trigonométricas para mostrar la relación entre las variables.

Inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

Esta es otra clasificación importante que describe cómo una función relaciona los valores de entrada con los de salida:

• Función inyectiva: Cada valor en el dominio se asocia con un valor único en el codominio.
• Función sobreyectiva o suprayectiva: Cada elemento del codominio es alcanzado por al menos un valor del dominio.
• Función biyectiva: Es tanto inyectiva como sobreyectiva, lo que significa que cada valor del dominio tiene un único valor en el codominio y viceversa.

Propiedades de las funciones

Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad en detalle

Profundicemos en estas propiedades clave:

• Inyectividad: Si una función es inyectiva, significa que cada valor de salida está asociado a un solo valor de entrada, evitando «solapamientos». Esto es útil cuando queremos asegurar que cada entrada produce un resultado único.
• Sobreyectividad: Una función sobreyectiva garantiza que el codominio se llena por completo, es decir, todos los valores posibles de salida se alcanzan.
• Biyectividad: Las funciones biyectivas son ideales para crear correspondencias «uno a uno» y son esenciales en la creación de funciones inversas.

Continuidad y límite

• Continuidad: Una función es continua si no presenta saltos o rupturas en su gráfica. La continuidad es fundamental en aplicaciones como el modelado físico, donde los cambios abruptos no tienen sentido.
• Límite: Los límites nos ayudan a entender el comportamiento de las funciones en valores extremos o en puntos de discontinuidad. Son la base del cálculo diferencial e integral, pilares de las matemáticas avanzadas.
• Máximos y mínimos: El máximo y mínimo de una función hace referencia al los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio.

Aplicaciones prácticas de las funciones en diversas áreas

Las funciones son esenciales en casi todos los campos de la ciencia y tecnología. Veamos algunos ejemplos:

• Física: En cinemática, la velocidad de un objeto depende del tiempo, lo cual se representa con una función. Además, el desplazamiento se calcula como la integral de esta función de velocidad.
• Economía: El análisis de oferta y demanda utiliza funciones para modelar cómo el precio influye en la cantidad demandada y ofertada de un bien.
• Biología: En el estudio de poblaciones, la función exponencial ayuda a modelar el crecimiento o decaimiento de organismos a lo largo del tiempo.
• Programación y algoritmos: Las funciones también se utilizan en programación y en el desarrollo de algoritmos, ya que permiten modelar y resolver problemas complejos, como predicciones y simulaciones en entornos virtuales.

Otros conceptos de interés relacionados a funciones

• Funciones a trozos
• Inversa de una función
• Operaciones con funciones
• Composición de funciones
• Crecimiento y decrecimiento de una función
• Función identidad
• Función constante